ˆ zwei gleich große Rückzahlungen am und am

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1 Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Übungen zu QM II Finanzmathematik) Gemischte Verzinsung Aufgabe 5.1 Ein Anleger zahlt am bei seiner Bank GE zu 1,2% jährlichen Zinseszinsen ein. Am hebt er das Guthaben samt Zinsen ab. Welchen Betrag erhält er bei a) relativ gemischter Verzinsung? Lösung: K 2,2805 = ,84) b) bankmäßiger gemischter Verzinsung? Lösung: K 2,2805 = ,86 oder Taggenau ,09) Aufgabe 5.2 Ein Kapital in Höhe von e wird fünfzehn Jahre und drei Monate zu nominell 1,2% p.a. verzinst. Welches Endkapital ergibt sich a) bei nachschüssiger Verzinsung? Lösung: ,35 e) b) bei monatlicher Verzinsung zum relativen Zinsfuß? Lösung: 007,05 e) c) bei täglicher Verzinsung zum relativen Zinsfuß? Lösung: 008,11 e) d) bei stetiger kontinuierlicher) Verzinsung? Lösung: 008,14 e) e) bei konformer Verzinsung? Lösung: ,07 e) Aufgabe 5.3 Statt der Rückzahlung einer Schuld von e am werden bei relativ gemischter Verzinsung mit 5,8% Jahreszinsen folgende Rückzahlungen vereinbart: e am zwei gleich große Rückzahlungen am und am Wie hoch sind die Zahlungen am und am , wenn als Bewertungsstichtag der a) Lösung: ,03 e) b) Lösung: ,53 e) c) Lösung: ,16) festgesetzt wird? Aufgabe 5.4 Ein Kapital hat sich bei stetiger Verzinsung nach einer Laufzeit von sieben Jahren, zwei Monaten und zwölf Tagen verdoppelt. Wie hoch war der nominelle Jahreszins? 1

2 Lösung zu Aufgabe 5.1 a) 3 Monate + 11 Tage = 101 Tage γ = 101 = 0,2805 Jahre 360 K 2,2805 = , ,2805 0,0 ) = ,84 d.h. das Guthaben beträgt ,84 GE. b) K 2,2805 = ) 0,0 1, ) 360 0,0 = ,86 d.h. das Guthaben beträgt ,86 GE. 2. Lösung Tag-genau: γ 1 = = 0, γ 2 = = 0, K 2, = γ 1 0,0) 1, γ 2 0,0) = ,09 Lösung zu Aufgabe 5.2 a) K 15,25 = K 15 = ,0 15 = ,35 d.h. das Guthaben beträgt ,35 e. b) K 15,25 = ,0 ) 15,25 = 007,05 d.h. das Guthaben beträgt 007,05 e. c) K 15,25 = ,0 ) 15, = 008, d.h. das Guthaben beträgt 008,11 e. d) K 15,25 = e 15,25 0,0 = e 0,183 = 008,14 d.h. das Guthaben beträgt 008,14 e. e) K 15,25 = ,0 15,25 = ,07 d.h. das Guthaben beträgt ,07 e. Lösung zu Aufgabe 5.3 a) Wert der Schulden am : , ,058) = ,45 Wert der Rückzahlungen am : , ,058) = , ,058) = 1,

3 Schulden = Rückzahlungen ,45 = ,38 + 1, ,07 = 2, = ,03 d.h. die beiden gleich hohen Rückzahlungen betragen jeweils ,03 e. b) Wert der Schulden am : ,058) = ,67 Wert der Rückzahlungen am : , ,058) = 1, = 0, , ,058) = 1, = 0, Schulden = Rückzahlungen ,67 = , , ,67 = 1, = ,53 d.h. die beiden gleich hohen Rückzahlungen betragen jeweils ,53 e. c) Wert der Schulden am : Wert der Rückzahlungen am : = ,21 0, ,058 2 = 1, = 0, , ,058) = 1, = 0, Schulden = Rückzahlungen = ,21 + 0, , ,79 = 1, = ,16 d.h. die beiden gleich hohen Rückzahlungen betragen jeweils ,16 e. Lösung zu Aufgabe 5.4 n = = = 7,2 K 7,2 = 2 K 0 = K 0 e 7,2i K 0 2 = e 7,2i ln 3

4 ln 2 = lne 7,2i ) = 7,2i lne) = 7,2i 7,2 }{{} =1 i = ln 2 7,2 = 0,09627 d.h. der nominelle Jahreszins betrug 9,627%. 4

5 p = 4% Nominalzinsfuß pro Jahr n = 3 Jahre bzw. 3,5 Jahre Laufzeit K 0 = 100 Übersicht lineare Verzinsung K 2 = ,04) = 1 K 3,5 = ,5 0,04) = 114 nachschüssige Verzinsung K 3 = 100 1,04 3 = 1,49 K 3,5 = nicht erklärt bzw. K 3,5 = K 3 konforme Verzinsung K 3 = 100 1,04 3 = 1,49 K 3,5 = 100 1,04 3,5 = 114,71 relativ gemischte Verzinsung K 3 = 100 1,04 3 = 1,49 K 3,5 = 100 1, ,04) 2 = 114,74 vorschüssige Verzinsung K 3 = 100 0,96 3 = 113,03 K 3,5 = nicht erklärt bzw. K 3,5 = K 3 stetige Verzinsung K 3 = 100 e 3 0,04 = 1,75 K 3,5 = 100 e 3,5 0,04 = 115,03 Verzinsung zum relativen Zins i m täglich: m = 360 monatlich: m = quartalsmäßig: m = 4 halbjährlich: m = 2 K 3 = ,04 = 1,73 K 3,5 = ,04 = 115,00 ) 36 ) 42 q effektiv = 1 + 0,04 ) = 1, p effektiv = 4,0742%

6 Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Vorlesung QM II Ss 2017 Relativ gemischte Verzinsung Arbeitsblatt Aufgabe 6 Klausur vom ) Ein Schuldner hat bei relativ gemischter Verzinsung mit 6% Jahreszinsen folgende Zahlungsverpflichtungen: am am am Statt diesen Zahlungsverpflichtungen möchte der Schuldner a) seine Schuld mit einer einmaligen Zahlung am zurückzahlen. Wie hoch ist der einmalige Rückzahlungsbetrag? Bewertungsstichtag ist der b) am zurückzahlen und nach vier Jahren die verbleibende Restschuld. Wie hoch ist der Rückzahlungsbetrag nach vier Jahren? Bewertungsstichtag ist der c) die gesamte Schuld in drei gleich großen Beträgen am , am und am zurückzahlen. Wie hoch werden diese Rückzahlungsbeträge sein? Bewertungsstichtag ist der

7 Lösung zu Aufgabe a) = , , ,87 = ,90 0,06 1,063 1,064 d.h. die Rückzahlung beträgt ,90. b) Schulden = Rückzahlungen ,90 = = ,25 1,064 d.h. die Rückzahlung nach vier Jahren beträgt ,25. c) Schulden = Rückzahlungen ,90 = 1,06 + 1, , ,06) ,90 = 0, , , ,90 = 2,6347 = ,05 d.h. die einheitliche Rückzahlung beträgt jeweils ,05. 2

8 Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Vorlesung QM 2 Jährlicher Effektivzins Wurde für eine beliebige Verzinsungsart das Endguthaben K n, das sich nach n Jahren aus einem Startkapital K 0 ergibt, berechnet, so ist der jährliche Effektivzins der Zins, der bei nachschüssiger Verzinsung zu dem gleichen Endguthaben führt. Der Effektiv-Zinsfaktor q berechnet sich wie folgt: q = n Kn K 0 Beispiel Startkapital: GE Laufzeit: vier Jahre nomineller Jahreszins: 1,2% 1. lineare Verzinsung K 4,25 = ,0) = q = 4 = 1, =1,1790% p.a. Effektivzins=1,1790% p.a. Probe: 1, = 1 048, nachschüssige Verzinsung K 4 = 1,0 4 = 1 048,87 Effektivzins=1,2% p.a. 3. vorschüssige Verzinsung K 4 = 0,988 = 1 049, Lösungsweg: 1 049,48 q = 4 = 1,0147 =1,2147% p.a. Rundungsungenauigkeit 2. Lösungsweg: i = 0,0 0,988 = 0,0146 =1,2146% Effektivzins=1,2146% p.a. Probe: 1, = 1 049,48 1

9 4. monatliche Verzinsung zum relativen Zins K 4 = 1 + 0,0 ) 4 = 1 049,15 1. Lösungsweg: 1 049,15 q = 4 = 1,0067 =1,2067% p.a. Rundungsungenauigkeit 2. Lösungsweg: j = 1 + 0,0 ) 1 = 0,0066 =1,2066% Effektivzins=1,2066% p.a. Probe: 1, = 1 049,15 5. konforme Verzinsung K 4 = 1,0 4 = 1 048,87 Effektivzins=1,2% p.a. 6. relativ gemischte Verzinsung K 4 = 1,0 4 = 1 048, ,87 q = 4 = 1,0000 =1,2000% p.a. Effektivzins=1,2% p.a. Probe: 1,0 4 = 1 048,87 7. stetige Verzinsung K 4 = e 4 0,0 = 1 049, ,17 q = 4 = 1,0072 =1,2072% p.a. Effektivzins=1,2072% p.a. Probe: 1, = 1 049,17 2